Exoset - Hint for exercise L’igloo

Exercise L’igloo

Question a)

Quelle est la symétrie du problème? En déduire la forme de l'équation de chaleur.

Le régime stationnaire est atteint. Que peut-on alors écrire à propos du flux?

Intégrez l'expression de $dT$ pour en déduire une expression de $T_e -T_i$.

Exprimez alors la résistance thermique en fonction de $T_i - T_e$ et du flux.

$R_{t h}=\frac{T_{i}-T_{e}}{\Phi}=\frac{1}{2 \pi \lambda}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)$

Appliquez l'approximation à l'expression $R_{t h}=\frac{1}{2 \pi \lambda}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)$ obtenue précédemment.

$R_{t h}=\frac{1}{2 \pi \lambda} \frac{R_{2}-R_{1}}{R_{1} R_{2}} \approx \frac{1}{2 \pi \lambda} \frac{e}{R^{2}}$

Quelle est la relation entre le flux et la chute de température ΔT à l’interface pour un échange de chaleur par convection?

$R_{c}=\frac{\Delta T}{\Phi}=\frac{1}{2 \pi R_{1}^{2} h}$

Il y a quatre sections différentes dans le profil de température. Lesquelles ?

Quel est le profil de température associé à la région où la diffusion est le mode d'échange de chaleur privilégié ? Idem pour la convection.

Quel volume de glace fond pour une variation $d e$ de l'épaisseur de la paroi?

En déduire la quantité de chaleur $\delta Q$ à apporter au système.

$\delta Q=-\rho 2 \pi R^{2} d e L$

Comment exprimer le flux de chaleur « consommé » par la fusion de la glace ?

$\Delta \Phi=-\rho 2 \pi R^{2} L \frac{d e}{d t}$

Quelles sont les températures et la résistance thermique à considérer pour le calcul de $\Phi_s$ ?

$\Phi_{s}=\frac{2 \pi \lambda R^{2}}{e}\left(T_{0}-T_{e}\right)$ où $T_{0}=0^{\circ} \mathrm{C}$.

Trouvez l'espression de $\frac{de}{dt}$ à partir de deux expressions différentes pour $\Delta \Phi$.

Quel est la condition sur $\frac{de}{dt}$ pour que l'état stationnaire soit atteint ?

$\mathrm{e}_{e q}=\frac{2 \pi \lambda R^{2}\left(T_{0}-T_{e}\right)}{\Phi_{e}}$

$\mathrm{e}_{e q}=50 \mathrm{~cm}$