THÉORÈME DES AXES PRINCIPAUX:

Soient $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ une matrice symétrique et $Q: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ la forme quadratique associée. Alors il existe une matrice orthogonale $P \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ telle que $P^{T} A P$ soit diagonale.

DÉFINITION:

Les colonnes de la matrice $P$ obtenue en appliquant le théorème des axes principaux s'appellent les axes principaux de $Q$.

MÉTHODE POUR DÉTERMINER LES AXES PRINCIPAUX D'UNE FORME QUADRATIQUE DONNÉE：

Soit $Q: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ une forme quadratique. Pour déterminer les axes principaux de $Q$, on procède comme suit.

1. Déterminer la matrice $A \in M_{n \times n}$ ( $\mathbb{R}$ ) qui définit $Q,$ c'est-à-dire qui satisfait $Q(u)=u A u^{T}$ pour tout $u \in \mathbb{R}^{n}$.
2. Diagonaliser orthogonalement la matrice $A,$ i.e. trouver une base orthonormée $\mathscr{B}$ de $\mathbb{R}^{n}$ formée de vecteurs propres de $A$.
3. Les vecteurs de $\mathscr{B}$ sont les axes principaux de $Q$.

import numpy as np
import sympy as sp
from IPython.display import display, Latex, Markdown
import plotly
import plotly.graph_objects as go
import sys, os
sys.path.append('../Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation')
from Ch8_lib import *
sys.path.append('../Librairie')
import AL_Fct as al
from Ch10_lib import *

A1 = np.array([[-3, 0, 0], [0, 2, -3], [0, -3, 2]])
A2 = np.array([[3, 0, 0], [0, 2, 3], [0, 3, 2]])
A3 = np.array([[1, 2],[2, 1]])
A4 = np.array([[3, -1, 0], [-1, 2, 0], [0, 0, 1]])

# Choisissez la matrice
A = A1

plot_quad(A, lims=4, n_points=40j)

Exercice 1

En effectuant un changement de variable, réécrivez les formes quadratiques $Q(x) = x^T A x$ sous forme diagonale :

$$Q(y) = y^T D y = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + ... + d_n y_n^2$$

Donnez les coefficients $d_1, ..., d_n$ et la matrice $S$ de changement de variable tel que $x = Sy$.

Indice: Les colonnes de la matrice $S$ sont les axes principaux de $Q(x)$.

ex1_10_8(1)

$Q(x) = 5 x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 5 x_{2}^{2}$

Donnez les coefficients $d_1,\ldots,d_n$ et la matrice $S$ tels que $x=Sy$.

Réduction de la forme quadratique

d = S = Vérifier

Correct !

Incorrect.

Solution

On commence par trouver la matrice symétrique $A$ telle que $Q(x) = x^T A x$ avec $x = \left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)$.

Par identification, on trouve $A = \left(\begin{matrix}5 & 2\\2 & 5\end{matrix}\right)$.

Ensuite, l'exercice consiste simplement à diagonaliser orthogonalement la matrice symétrique $A$.

En effet, si on a $D = S^T A S$, avec $D$ diagonale, en effectuant le changement de variable $x = Sy$, on obtient : $$ $$ $Q(x) = x^T A x = (Sy)^T A (Sy) = y^T S^T A S y = y^T D y = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + ... + d_n y_n^2 $

Le polynôme caractéristique de $A$ s'exprime comme: $c_A (t) = \lambda^{2} - 10 \lambda + 21$.

On trouve les racines du polynôme caractéristique et on factorise. On obtient $c_A (t) = \left(\lambda - 7\right) \left(\lambda - 3\right)$.

On obtient donc les valeurs propres $\lambda$ et leur multiplicité respective $m$: $ \lambda = \left[ 7, \ 3\right] \hspace{10mm} m = \left[ 1, \ 1\right]$.

<IPython.core.display.Markdown object>

On cherche une base de l'espace propre associé à $\lambda = 7$.

On échelonne la matrice du système $A -\lambda I = 0 \Rightarrow \left(\begin{array}{cc| cc} -2 & 2 & 0 \\2 & -2 & 0 \end{array}\right)$

On obtient: $\left(\begin{array}{cc| cc} 1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

Variable(s) libre(s): $x_2 \ $

On peut donc exprimer les vecteurs de l'espace propre comme: $\alpha_1 \cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\1 \end{array}\right)$

On applique le procédé de Gram-Schmidt pour obtenir des vecteurs de norme 1 et orthogonaux. On obtient $\left[ \left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right]\right]$

On cherche une base de l'espace propre associé à $\lambda = 3$.

On échelonne la matrice du système $A -\lambda I = 0 \Rightarrow \left(\begin{array}{cc| cc} 2 & 2 & 0 \\2 & 2 & 0 \end{array}\right)$

On obtient: $\left(\begin{array}{cc| cc} 1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

Variable(s) libre(s): $x_2 \ $

On peut donc exprimer les vecteurs de l'espace propre comme: $\alpha_1 \cdot\left(\begin{array}{c} -1 \\1 \end{array}\right)$

On applique le procédé de Gram-Schmidt pour obtenir des vecteurs de norme 1 et orthogonaux. On obtient $\left[ \left[\begin{matrix}- \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right]\right]$

Finalement, on construit la matrice $S$ en utilisant chaque vecteur de base trouvé précedemment comme colonne de cette matrice. Cette dernière est bien orthogonale car les vecteurs de base sont orthogonaux entre eux et tous de norme unitaire. On construit la matrice $D$ en plaçant les valeurs propres de $A$ sur la diagonale. Le placement des valeurs propres sur la diagonale de $D$ doit correspondre avec celui des vecteurs propres dans $S$.

On obtient $S = \left(\begin{matrix}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right)\hspace{5mm} \mbox{et} \hspace{5mm} D = \left(\begin{matrix}7 & 0\\0 & 3\end{matrix}\right)$

On vérifie le résultat par un calcul :

$S D S^T = \left(\begin{matrix}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7 & 0\\0 & 3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\- \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}5 & 2\\2 & 5\end{matrix}\right)=A$

Plot

ex1_10_8(2)

$Q(x) = 3 x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 2 x_{3}^{2}$

Donnez les coefficients $d_1,\ldots,d_n$ et la matrice $S$ tels que $x=Sy$.

Réduction de la forme quadratique

d = S = Vérifier

Correct !

Incorrect.

Solution

On commence par trouver la matrice symétrique $A$ telle que $Q(x) = x^T A x$ avec $x = \left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{matrix}\right)$.

Par identification, on trouve $A = \left(\begin{matrix}3 & 2 & 0\\2 & 0 & 0\\0 & 0 & 2\end{matrix}\right)$.

Ensuite, l'exercice consiste simplement à diagonaliser orthogonalement la matrice symétrique $A$.

En effet, si on a $D = S^T A S$, avec $D$ diagonale, en effectuant le changement de variable $x = Sy$, on obtient : $$ $$ $Q(x) = x^T A x = (Sy)^T A (Sy) = y^T S^T A S y = y^T D y = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + ... + d_n y_n^2 $

Le polynôme caractéristique de $A$ s'exprime comme: $c_A (t) = \lambda^{3} - 5 \lambda^{2} + 2 \lambda + 8$.

On trouve les racines du polynôme caractéristique et on factorise. On obtient $c_A (t) = \left(\lambda - 4\right) \left(\lambda - 2\right) \left(\lambda + 1\right)$.

On obtient donc les valeurs propres $\lambda$ et leur multiplicité respective $m$: $ \lambda = \left[ 4, \ -1, \ 2\right] \hspace{10mm} m = \left[ 1, \ 1, \ 1\right]$.

<IPython.core.display.Markdown object>

On cherche une base de l'espace propre associé à $\lambda = 4$.

On échelonne la matrice du système $A -\lambda I = 0 \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc| cc} -1 & 2 & 0 & 0 \\2 & -4 & 0 & 0 \\0 & 0 & -2 & 0 \end{array}\right)$

On obtient: $\left(\begin{array}{ccc| cc} 1 & -2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

Variable(s) libre(s): $x_2 \ $

On peut donc exprimer les vecteurs de l'espace propre comme: $\alpha_1 \cdot\left(\begin{array}{c} 2 \\1 \\0 \end{array}\right)$

On applique le procédé de Gram-Schmidt pour obtenir des vecteurs de norme 1 et orthogonaux. On obtient $\left[ \left[\begin{matrix}\frac{2 \sqrt{5}}{5}\\\frac{\sqrt{5}}{5}\\0\end{matrix}\right]\right]$

On cherche une base de l'espace propre associé à $\lambda = -1$.

On échelonne la matrice du système $A -\lambda I = 0 \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc| cc} 4 & 2 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 3 & 0 \end{array}\right)$

On obtient: $\left(\begin{array}{ccc| cc} 1 & 0.5 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

Variable(s) libre(s): $x_2 \ $

On peut donc exprimer les vecteurs de l'espace propre comme: $\alpha_1 \cdot\left(\begin{array}{c} -0.5 \\1 \\0 \end{array}\right)$

On applique le procédé de Gram-Schmidt pour obtenir des vecteurs de norme 1 et orthogonaux. On obtient $\left[ \left[\begin{matrix}- \frac{\sqrt{5}}{5}\\\frac{2 \sqrt{5}}{5}\\0\end{matrix}\right]\right]$

On cherche une base de l'espace propre associé à $\lambda = 2$.

On échelonne la matrice du système $A -\lambda I = 0 \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc| cc} 1 & 2 & 0 & 0 \\2 & -2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

On obtient: $\left(\begin{array}{ccc| cc} 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

Variable(s) libre(s): $x_3 \ $

On peut donc exprimer les vecteurs de l'espace propre comme: $\alpha_1 \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \end{array}\right)$

On applique le procédé de Gram-Schmidt pour obtenir des vecteurs de norme 1 et orthogonaux. On obtient $\left[ \left[\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right]\right]$

Finalement, on construit la matrice $S$ en utilisant chaque vecteur de base trouvé précedemment comme colonne de cette matrice. Cette dernière est bien orthogonale car les vecteurs de base sont orthogonaux entre eux et tous de norme unitaire. On construit la matrice $D$ en plaçant les valeurs propres de $A$ sur la diagonale. Le placement des valeurs propres sur la diagonale de $D$ doit correspondre avec celui des vecteurs propres dans $S$.

On obtient $S = \left(\begin{matrix}\frac{2 \sqrt{5}}{5} & - \frac{\sqrt{5}}{5} & 0\\\frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{2 \sqrt{5}}{5} & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right)\hspace{5mm} \mbox{et} \hspace{5mm} D = \left(\begin{matrix}4 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 2\end{matrix}\right)$

On vérifie le résultat par un calcul :

$S D S^T = \left(\begin{matrix}\frac{2 \sqrt{5}}{5} & - \frac{\sqrt{5}}{5} & 0\\\frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{2 \sqrt{5}}{5} & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{2 \sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5} & 0\\- \frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{2 \sqrt{5}}{5} & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}3 & 2 & 0\\2 & 0 & 0\\0 & 0 & 2\end{matrix}\right)=A$

Plot

Passez au notebook du chapitre 10.9 Classification des formes quadratiques