In [1]:
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Concept(s)-clé(s)¶

MÉTHODE POUR TROUVER UNE BASE À PARTIR D'UN SYSTÈME DE GÉNÉRATEURS :¶

Soient $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n,$ $\mathscr{B}=(v_1,\ldots,v_n)$ une base de $V,$ $S\subset V$ une partie finie et $W=\mbox{Vect}(S).$ Pour trouver une base de $W$ et la compléter en une base de $V,$ on procède comme suit.

  1. Pour chaque $v\in S,$ on écrit $[v]_{\mathscr{B}} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \ \alpha_2 \ \cdots \ \alpha_n \end{pmatrix}^T.$

  2. On définit la matrice $A$ dont les lignes sont les vecteurs $[v]_{\mathscr{B}}^T$ ($v\in S$).

  3. On échelonne la matrice $A$ : les lignes non-nulles ainsi obtenues forment une base de l'espace ligne de cette matrice. De plus, les vecteurs de $W$ correspondants forment une base de $W.$

  4. On remplace les lignes nulles de la matrice échelonnée par des lignes non-nulles de manière à ce que celle-ci contienne $n$ pivots. Les vecteurs de $V$ associés aux lignes de cette nouvelle matrice forment une base de $V.$

Exercice 1¶

Soit $S = (v_1,v_2,v_3,v_4,v_5) \in \mathbb{R}^6$ et $W=Vect(S)$. Selon la méthode vue en cours, quelles sont les dimensions de la matrice $A$?

In [2]:
ch4_12ex1()

Exercice 2¶

Sachant que $v_2 = 2v_3+3v_5$, combien faut-il rajouter, au minimum, de lignes non-nulles à la matrice $A$, dans sa forme échelonnée, pour que les vecteurs associés aux lignes de celle-ci forment une base de $\mathbb{R}^6$?

In [3]:
ch4_12ex2()

Exercice 3¶

Voici la matrice $A$ échelonnée, nommée $B$:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$

a) Combien de vecteurs doivent être ajoutés aux lignes non-nulles de $B$ pour que celles-co soient une base de $\mathbb{R}^6$ ?

In [4]:
ch4_12ex3a()

b) Donner une collection de vecteurs qui complètent les lignes non-nulles de $B$ en une base de $\mathbb{R}^6$.

In [5]:
# Entrez les vecteurs qui complètent les lignes non-nulles de B en une base de R^6
# Par exemple : [[1, 2], [3, 4]]
vecteurs_manquants = [[0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0]]

ch4_12ex3b(vecteurs_manquants)