Concept(s)-clé(s) et théorie

Définition 1 - Produit Scalaire

Soit $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Un produit scalaire sur $V$ est une application qui fait correspondre à chaque paire ordonnée $(u,v) \in V \times V$ un nombre réel, noté $\langle u, v \rangle \in \mathbb{R}$, telle que les conditions suivantes soient vérifiées, pour tous $u,v,w \in V, \alpha \in \mathbb{R}$:

1. Symmétrie: $\langle u,v \rangle = \langle v, u \rangle$
2. Additivité: $\langle u+v, w \rangle = \langle u,w \rangle + \langle v,w \rangle$
3. Bilinearité (combinè avec 2): $\langle \alpha u, v \rangle = \alpha \langle u,v \rangle = \langle u, \alpha v \rangle$
4. Definié Positivité: $\langle u,u \rangle \geq 0 \ \forall u \in V$ et si $\langle u,u \rangle = 0$ alors $u=0$.

Définition 2 - Espace Euclidien

Un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire s'appelle un espace euclidien.

Définition 3 - Orthogonalité

Soiet $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\langle \cdot,\cdot \rangle$ et $u,v \in V$. On dit que $u$ et $v$ sont orthogonaux si $\langle u,v \rangle = 0$.

Example 1

Un example de produit scalaire dans $V = \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R})$ est: $$ \langle A,B \rangle = Trace(A^TB)$$ ou la trace d'un matrice carée de dimension $n$ est definie comme suit: $$Trace(A) = \sum\limits_{i=1}^n a_{ii}$$

Example 2

Un example de produit scalaire dans $V = \mathcal{C}^0([a;b], \mathbb{R}) =: \{f: [a;b] \rightarrow \mathbb{R} : f \ fonction \ continue\}$ (avec $[a;b]$ un intervalle de $\mathbb{R}$) est: $$ \langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x) \ dx$$ où $\int_a^b f(x) \ dx$ désigne l'intégrale de Riemann de $f$ dans l'intervalle $[a;b]$.

Exercises et Exemples

import Librairie.AL_Fct as al
import Corrections.corrections as corrections
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Exercise 1

Considérez les couples de $\mathbb{R}$-espaces vectoriels et d'opérateurs suivants et marquez ceux des déclarations suivantes qui sont corrects.

1. $\big(\mathbf{V}, \langle a, b \rangle\big) = \big(\mathbb{R}^3, \ a_1b_1 - a_1b_2 - a_2b_1 + a_2b_2 - a_2b_3 - a_3b_2 + 2a_3b_3\big)$
2. $\big(\mathbf{V}, \langle a, b \rangle\big) = \big(\mathbb{R}^3, \ a^TMb\big) \qquad$ with $M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$
3. $\big(\mathbf{V}, \langle a, b\rangle\big) = \big(\mathbb{P}^2(\mathbb{R}), \ 2c^a_0c^b_0 - c^a_0c^b_2 + c^a_1c^b_1 - c^a_2c^b_0 + c^a_2c^b_2\big) \qquad$ with $a(x) =: c^a_2 x^2 + c^a_1 x + c^a_0 \ $ and $ \ b(x) =: c^b_2x^2 + c^b_1 x + c^b_0$
4. $\big(\mathbf{V}, \langle a, b\rangle\big) = \big(\mathbb{P}^3(\mathbb{R}), \ 2c^a_0c^b_0 - c^a_0c^b_2 + c^a_1c^b_1 - c^a_2c^b_0 + c^a_2c^b_2\big) \qquad$ with $a(x) =: c^a_3 x^3 + c^a_2 x^2 + c^a_1 x + c^a_0 \ $ and $ \ b(x) =: c^a_3 x^3 + c^b_2x^2 + c^b_1 x + c^b_0$
5. $\big(\mathbf{V}, \langle a, b\rangle\big) = \big(\mathcal{C}^1([x_0, x_1]; \mathbb{R}), \ a(x_0)b(x_0) + \int_{x_0}^{x_1} a'(x)b'(x) \ dx \big)$
6. $\big(\mathbf{V}, \langle a, b\rangle\big) = \big(\mathcal{C}^2([x_0, x_1]; \mathbb{R}), \ a(x_0)b(x_0) + \int_{x_0}^{x_1} a''(x)b''(x) \ dx \big)$

Remarques

• $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ désigne l'ensemble des polynômes a valeurs réelles de degré au plus $n$, qui peuvent alors être exprimés de manière unique en termes de $n+1$ coefficients scalaires
• $\mathcal{C}^n([x_0, x_1]; \mathbb{R})$ désigne l'ensemble des fonctions à valeurs réelles qui sont $n$-fois différenciables, avec toutes les dérivées continues, sur l'intervalle $[x_0; x_1]$

corrections.Ex1Chapitre9_2()

Produits scalaires et espaces euclidiens

L'opérateur est un produit scalaire dans les cas : 1 2 3 4 5 6

L'espace est euclidien dans les cas : 1 2 3 4 5 6

Vérifier

C'est correct! En effet: CAS 1: l'opérateur n'est pas un produit scalaire parce qu'il n'est pas défini positif; donc l'espace vectoriel ne peut pas être un espace Euclidien. CAS 2: l'opérateur est en fait un produit scalaire (il s'avère respecter toutes les propriétés requises); en plus l'espace vectoriel à une dimension finie (3), et c'est donc un espace Euclidien une fois équipé avec l'opérateur donné. CAS 3: l'opérateur est un produit scalaire; l'espace vectoriel à une dimension finie (3, égal au nombre de coefficients caractérisants) et c'est donc un espace Euclidien s'il est équipé de l'opérateur donné. CAS 4: l'opérateur est le même que dans le cas 2, mais dans ce cas ce n'est PAS un produit scalaire car il n'est pas défini positif (notez, en effet, que chaque polynôme de degré égal à 3 à un produit scalaire nul avec lui-même, bien qu'il n'est pas le polynôme nul); donc l'espace vectoriel ne peut alors pas être un espace Eucliden. CAS 5: l'opérateur donné définit un produit scalaire. En particulier, définie positivité vient du fait que, si \(\langle a, a \rangle = 0\), alors \(a(x_0) = 0\) et \(a'(x)^2=0 \ \forall x \in [x_0; x_1]\); en conséquence \(a\) doit être constant dans \([x_0; x_1]\) et égal à \(0\) en \(x_0\). En raison de la continuité, cela implique qu'en fait \(a \equiv 0\), comme souhaité. Cependant, la dimensionnalité de l'espace vectoriel est infinie; il ne peut donc pas être un espace Euclidien. CAS 6: l'opérateur ne définit pas un produit scalaire car il n'est pas défini positif; en effet, si \(\langle a, a \rangle=0\) alors \(a\) doit être \(0\) à \(x_0\) et il doit avoir dérivée seconde nulle dans \([x_0; x_1]\). Ainsi, toute fonction linéaire égale à \(0\) à \(x_0\) conduirait à avoir \(\langle a, a \rangle=0\), ce qui prouve que l'opérateur n'est pas défini positif. Facilement, l'espace vectoriel ne peut pas être un espace Euclidien, aussi parce que sa dimension est infinie.

C'est faux.

Exercise 2

Étant donné les couples de matrices suivants, déterminez celles qui sont orthogonales par rapport au produit scalaire défini via l'opérateur de trace

1. $ \qquad A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \qquad \quad \ \ B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
2. $ \qquad A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \qquad \qquad \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
3. $ \qquad A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$
4. $ \qquad A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \qquad \qquad \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

corrections.Ex2Chapitre9_2()

Les matrices sont orthogonales dans les cas :

1 2 3 4 Vérifier

C'est correct!

C'est faux.

Exercise 3

Étant donné les couples de fonctions suivants, déterminez s'ils sont orthogonaux par rapport au produit scalaire donné

1. $\qquad f(x) = 1 - x^2; \quad g(x) = -(x-1)^2 \qquad \quad with: \quad \langle f, g \rangle = c^f_0c^g_0 + c^f_1c^g_1 + c^f_2c^g_2$
2. $\qquad f(x) = 1 - x^2; \quad g(x) = -(x-1)^2 \qquad \quad with: \quad \langle f, g \rangle = \int_{-1}^{1} f(x)g(x) \ dx$
3. $\qquad f(x) = x - \dfrac{1}{2}; \quad g(x) = x^2 - x - \dfrac{1}{6} \qquad \ \ with: \quad \langle f, g \rangle = 2c^f_0c^g_0 - c^f_0c^g_0 + 2c^f_1c^g_1 - c^f_1c^g_2 - c^f_2c^g_0 - c^f_2c^g_1 + 2c^f_2c^g_2$
4. $\qquad f(x) = x - \dfrac{1}{2}; \quad g(x) = x^2 - x - \dfrac{1}{6} \qquad \ \ with: \quad \langle f, g \rangle = \int_0^1 f(x)g(x) \ dx$
5. $\qquad f(x) = \sin(x); \quad \ g(x) = \cos(x) \qquad \qquad \ \ with: \quad \langle f,g \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x) \ dx$
6. $\qquad f(x) = \sin(x); \quad \ g(x) = \cos(x) \qquad \qquad \ \ with: \quad \langle f,g \rangle = \int_{0}^{\pi / 2} f(x)g(x) \ dx$

corrections.Ex3Chapitre9_2()

Les fonctions sont orthogonales dans les cas :

1 2 3 4 5 6 Vérifier

C'est correct!

C'est faux.

Aide: Vous pouvez vous aider en exécutant les cellules suivantes, qui permettent de tracer les 3 couples de fonctions considérés dans l'exercice 3

# CASES 1-2
corrections.Ex3Chapitre9_2_plotter(case_nb=1)

# CASES 3-4
corrections.Ex3Chapitre9_2_plotter(case_nb=3)

# CASES 5-6
corrections.Ex3Chapitre9_2_plotter(case_nb=5)

Passez au notebook du chapitre 9.3-9.4: Norme, inegalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, inegalité du triangle, Pythagore