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Tracé des surfaces S(U,V) et U(S,V) pour GP et vdW¶

On a démontré que $S$ est une fonction concave de $U$ et $V$ et que U est une fonction convexe de $S$ et $V$.

On utilise les équations d'état du gaz parfait et de van der Waals pour tracer ces surfaces. Pour van der Waals, on voit les zones d'instabilité qui correspondent aux domaines biphasés.

In [ ]:

Equation d'état de Van der Waals¶

L'équation d'état de Van der Waals est donnée par :

$$(p+a\frac{n^2}{V^2})(V-bn)=nRT$$

$a$ et $b$ sont des paramètres du gaz.

Au point critique, le gaz est à $T_c$ et $p_c$, et une mole occupe le volume critique molaire $V_c$

$$V_c=3b$$

$$p_c=\frac{a}{27b^2}$$

$$T_c=\frac{8a}{27 R b}$$

Pour une mole de fluide, l'équation d'état devient: $$p=\frac{RT}{V-b}-\frac{a}{V^2}$$

En coordonnées normalisées aux valeurs critiques, $p^*=p/p_c$; $T^*=T/T_c$ et $V^*=V/V_c$ et pour une mole

$$p^*=\frac{8T^*}{3V^*-1}-\frac{3}{V^{*2}}$$

In [1]:
from ipywidgets import interact
import numpy as np
import pandas as pd
import csv
from IPython.display import Image
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

import bokeh
from bokeh.io import push_notebook, show, output_notebook
from bokeh.plotting import figure
from bokeh.models.glyphs import Patch
output_notebook()
Loading BokehJS ...
In [2]:
#Constante des gaz parfaite
R=8.314

# paramètres a et b pour certains gaz
# gaz=(a,b) a en l^2.bar.mol^(-2) et b en l.mol^(-1)

co2=(3.64,0.04267)
sf6=(7.857,0.08786)
h2o=(5.537,0.03049)


# valcrit(gaz) =(Tc,Pc,Vc) en unités SI et pour une mole
# Calcule les valeurs critiques grâce à a et b

def valcrit(gaz):
    valcrit=(100*8*gaz[0]/(27*R*gaz[1]),10**5*gaz[0]/(27*gaz[1]**2),3*gaz[1]/10**3)
    return valcrit

Tracé des surfaces S(U,V) et U(S,V) pour GP et vdW¶

Pour un gaz parfait $$dU=TdS-pdV=cNRdT$$. $$dS=cNR\frac{dT}{T}+\frac{p}{T}dV = cNR\frac{dT}{T}+NR\frac{dV}{V}$$

$$S-S_0 =NR\ln\Big[\Big(\frac{U}{U_0}\Big)^c\cdot\Big(\frac{V}{V_0}\Big)\Big]$$

Cette forme est la même que l'équation de Sakur-Tetrode dérivée avec des considérations de phy stat sur un modèle de GP pour un gaz monoatomique (c=3/2). Elle ne fonctionne pas à très basse température.

$$ \frac{S}{k_{\rm B} N} = \ln \left[ \frac VN \left(\frac{4\pi m}{3h^2}\frac UN\right)^{3/2}\right]+ {\frac 52} $$

Et donc aussi

$$U =U_0\Big(\frac{V}{V_0}\Big)^{-1/c}\exp\big({\frac{S-S_0}{cNR}}\big)$$

In [3]:
# définition de S(U,V) pour un gaz parfait
def suvgp(U,V):
    c=3/2 #GP monoatomique
    S0=0
    N=1
    R=8.31
    V = np.array(V)
    fonc = S0+np.log(U**c*V)
    return fonc
In [4]:
# définition de U(S,V) pour un gaz parfait
def usvgp(S,V):
    c=3/2 #GP monoatomique
    S0=0
    N=1
    R=8.31
    V = np.array(V)
    en_int_rel = V**(-1/c) * np.exp((S-S0)/(c*N*R))
    return en_int_rel
In [5]:
Utab = np.linspace(10,80,101)
Vtab1 = np.linspace(2,101,91)
Vtab = [round(x, 2) for x in Vtab1]
SUVGPtab = []
    
for i in Utab:
    SUVGPtab.append(suvgp(i,Vtab).tolist())
    
df_suvgp = pd.DataFrame(SUVGPtab,columns=Vtab, index=Utab)
In [6]:
Stab1 = np.linspace(70,80,101)
Stab = [round(x, 2) for x in Stab1]
Vtab = np.linspace(2,11,91)
USVGPtab = []
for i in Stab:
    USVGPtab.append(usvgp(i,Vtab).tolist())
    
df_usvgp = pd.DataFrame(USVGPtab,columns=Vtab, index=Stab)
In [7]:
# %matplotlib notebook
%matplotlib widget

def plottable_3d_info(df_usvgp: pd.DataFrame):
    """
    Transform Pandas data into a format that's compatible with
    Matplotlib's surface and wireframe plotting.
    """
    index = df_usvgp.index
    columns = df_usvgp.columns

    x, y = np.meshgrid(np.arange(len(columns)), np.arange(len(index)))
    z = np.array([[df_usvgp[c][i] for c in columns] for i in index])
    
    xticks = dict(ticks=np.linspace(0, len(columns) - 1, 6), labels=columns[::len(columns) // 5])
    yticks = dict(ticks=np.linspace(0, len(index) - 1, 6), labels=index[::len(index) // 5])
    
    return x, y, z, xticks, yticks


### Transform to Matplotlib friendly format.
x, y, z, xticks, yticks = plottable_3d_info(df_usvgp)

### Set up axes and put data on the surface.
fig = plt.figure()
axes = fig.add_subplot(projection='3d')
axes.plot_surface(x, y, z, cmap='gist_earth')

### Customize labels and ticks (only really necessary with
### non-numeric axes).
axes.set_xlabel('S (unités arbitraires)')
axes.set_ylabel('V (unités arbitraires)')
axes.set_zlabel('U (unités arbitraires)')
axes.set_zlim3d(bottom=0)
axes.view_init(elev=20, azim=-77)
plt.xticks(**xticks)
plt.yticks(**yticks)

plt.show()
Figure
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In [8]:
#%matplotlib notebook
%matplotlib widget

def plottable_3d_info(df_suvgp: pd.DataFrame):
    """
    Transform Pandas data into a format that's compatible with
    Matplotlib's surface and wireframe plotting.
    """
    index = df_suvgp.index
    columns = df_suvgp.columns

    x, y = np.meshgrid(np.arange(len(columns)), np.arange(len(index)))
    z = np.array([[df_suvgp[c][i] for c in columns] for i in index])
    
    xticks = dict(ticks=np.linspace(0, len(columns) - 1, 7), labels=columns[::len(columns) // 6])
    yticks = dict(ticks=np.linspace(0, len(index) - 1, 5), labels=index[::len(index) // 4])
    
    return x, y, z, xticks, yticks


### Transform to Matplotlib friendly format.
x, y, z, xticks, yticks = plottable_3d_info(df_suvgp)

### Set up axes and put data on the surface.
fig = plt.figure()
axes = fig.add_subplot(projection='3d')
axes.plot_surface(x, y, z, cmap='gist_earth')

### Customize labels and ticks (only really necessary with
### non-numeric axes).
axes.set_xlabel('U (unités arbitraires)')
axes.set_ylabel('V (unités arbitraires)')
axes.set_zlabel('S (unités arbitraires)')
axes.set_zlim3d(bottom=3)
axes.view_init(elev=21, azim=-153)
plt.xticks(**xticks)
plt.yticks(**yticks)

plt.show()
Figure
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In [ ]: