Programme permettant de simuler un gaz parfait 2D avec des particules dans une boite

On distribue $N$ particules en leur donnant soit des vitesses aléatoires ou régulières et des positions aléatoires ou régulières.

On peut changer leur rayon.

On considère des particules identiques, sous forme de disque ayant des interactions élastiques entre elles ou avec la parroi.

Il est intéressant de voir l'évolution de la distribution des vitesses avec le temps quand on donne au départ la même vitesse à toutes les particules (thermalisation).

Faire un film intéressant (de longueur suffisante) demande vite 500 pas ou plus et prend un peu de temps.

import os, math, pylab
import numpy as np
import numpy.random

def wall_time(pos_a, vel_a, sigma):
    """Fonction qui détermine le prochain choc d'une particule avec un mur."""
    if vel_a > 0.0:
        del_t = (1.0 - sigma - pos_a) / vel_a
    elif vel_a < 0.0:
        del_t = (pos_a - sigma) / abs(vel_a)
    else:
        del_t = float('inf')
    return del_t

def pair_time(pos_a, vel_a, pos_b, vel_b, sigma):
    """Fonction qui détermine le temps du prochain choc d'une particule avec une autre."""
    del_x = [pos_b[0] - pos_a[0], pos_b[1] - pos_a[1]]
    del_x_sq = del_x[0] ** 2 + del_x[1] ** 2
    del_v = [vel_b[0] - vel_a[0], vel_b[1] - vel_a[1]]
    del_v_sq = del_v[0] ** 2 + del_v[1] ** 2
    scal = del_v[0] * del_x[0] + del_v[1] * del_x[1]
    Upsilon = scal ** 2 - del_v_sq * (del_x_sq - 4.0 * sigma ** 2)
    if Upsilon > 0.0 and scal < 0.0:
        del_t = - (scal + math.sqrt(Upsilon)) / del_v_sq
    else:
        del_t = float('inf')
    return del_t

def min_arg(l):
    """Récupère à la fois le minimum d'une liste et l'indice correspondant à ce minimum."""
    return min(zip(l, range(len(l))))

def compute_next_event(pos, vel):
    """ Détermination du prochain "évènement", c'est-à-dire l'instant de ce 
    choc et la particule (ou la paire) correspondante. À noter que l'on stocke 
    toutes ces infos dans un seul indice (cf disjonction de cas dans 
    compute_new_velocities)."""
    wall_times = [wall_time(pos[k][l], vel[k][l], sigma) for k, l in singles]
    pair_times = [pair_time(pos[k], vel[k], pos[l], vel[l], sigma) for k, l in pairs]
    return min_arg(wall_times + pair_times)

def compute_new_velocities(pos, vel, next_event_arg):
    """Calcul des nouvelles vitesses"""
    if next_event_arg < len(singles): # Cas d'un choc avec le mur
        collision_disk, direction = singles[next_event_arg]
        vel[collision_disk][direction] *= -1.0 # seule la vitesse sur cet axe est modifiée
    else:                             # Cas d'un choc entre deux particules de même masse
        a, b = pairs[next_event_arg - len(singles)]
        del_x = [pos[b][0] - pos[a][0], pos[b][1] - pos[a][1]]
        abs_x = math.sqrt(del_x[0] ** 2 + del_x[1] ** 2)
        e_perp = [c / abs_x for c in del_x]
        del_v = [vel[b][0] - vel[a][0], vel[b][1] - vel[a][1]]
        scal = del_v[0] * e_perp[0] + del_v[1] * e_perp[1]
        for k in range(2):
            vel[a][k] += e_perp[k] * scal
            vel[b][k] -= e_perp[k] * scal

def snapshot(t, pos, vel, colors, X, Y, arrow_scale=.2):
    """ La routine qui s'occupe des tracés graphiques."""
    global img
    nbmax = 20
    pylab.subplots_adjust(left=0.0, right=1, top=1, bottom=0)
    pylab.gcf().set_size_inches(12, 12*2/3)
    # Le premier sous-plot: carré de 2x2
    ax1 = pylab.subplot2grid((2,3),(0,0),colspan=2,rowspan=2)
    pylab.setp(pylab.gca(), xticks=[0, 1], yticks=[0, 1])
    pylab.plot(X,Y,'k',lw=0.8) # On y met le trajet de la dernière particule
    pylab.xlim((0,1))   # On doit astreindre les côtés horizontaux
    pylab.ylim((0,1))   # et verticaux
    # Boucle sur les points pour rajouter les cercles colorés
    for (x, y), c in zip(pos, colors): 
        circle = pylab.Circle((x, y), radius=sigma, fc=c)
        pylab.gca().add_patch(circle)
    dx,dy = vel[-1] * arrow_scale # La dernière particule a droit à son vecteur vitesse
    pylab.arrow( x, y, dx, dy, fc="r", ec="r", head_width=0.02, head_length=0.05 )
    pylab.text(.5, 1.03, 't = %.2f' % t, ha='center')
    # Second sous-plot: histogramme de la projection suivant x et y des vitesses
    ax2 = pylab.subplot2grid((2,3),(0,2),colspan=1,rowspan=1)
    r = (-2,2)  # Intervalle de vitesses regardé
    pylab.hist(vel[:,0],bins=20,range=r,alpha=0.5)
    pylab.hist(vel[:,1],bins=20,range=r, alpha=0.5)
    pylab.xlim(r)
    pylab.ylim((0,nbmax))
    pylab.ylabel("Nombre de particules")
    pylab.xlabel("$v_x$ (bleu), $v_y$ (orange)")
    # Troisième sous-plot: histogramme de la norme des vitesses
    ax3 = pylab.subplot2grid((2,3),(1,2),colspan=1,rowspan=1)
    r = (0,2)   # Intervalle de vitesses regardé
    v = np.linspace(0,2,100)
    mb = 10*maxbol(v,kbt)
    pylab.plot(v,mb)
    pylab.hist(np.sqrt(np.sum(vel**2,axis=1)),bins=20,range=r)
    pylab.plot(v)
    pylab.xlim(r)
    pylab.ylim((0,nbmax))
    pylab.ylabel("Nombre de particules")
    pylab.xlabel("$||\\vec{v}||$")
    pylab.savefig(os.path.join(output_dir, '{:04d}.png'.format(img)), bbox_inches="tight")
    img += 1

def check_position():
    """ Une routine pour s'assurer que les particules ne se chevauchent pas au 
    départ. Il peut se passer un certain temps avant que l'on trouve une 
    configuration adéquate. """
    continue_condition = True  # Condition de non-arrêt
    c = 0                      # Compteur
    d2= 4*sigma**2             # Distance (carrée) de sécurité
    while continue_condition:
        c += 1
        if c%100 == 0:         # Un peu de feedback
           print(c,'trials to get initial conditions and still trying...')
        pos = np.random.random((N,2))*(1-2*sigma) + sigma
        k = 0
        for (i,j) in pairs:    # Les vérifications sur toutes les paires
            if sum((pos[i]-pos[j])**2) > d2: k+= 1
            else:
                if c%100 == 0: print(i,j)
                break
        if k == len(pairs): continue_condition = False
    print("Let's compute some physics !")
    return pos

Maxwell-Bolzmann a 2D

def maxbol(v,kbt):
    mb=(v/kbt)*np.exp(-0.5*v**2/kbt)
    return(mb)
    

def reg_position(N):
    dist_ini= 1 / (np.sqrt(N)+1)
    pos2=np.linspace(dist_ini,1-dist_ini,int(np.sqrt(N)))
    pos3=[]
    for i in pos2:
        for j in pos2:
            pos3.append([i,j])
    pos=pos3
    return(pos)

def reg_vel(N):
    vel = np.zeros((N,2))+(0.5,0) # tout le monde part vers la droite avec vx=0.5 
    return(vel)

Les paramètres à changer

Nombre de particules, nombre de chocs, est-ce que la distribution des particules est régulières ou aléatoires, est-ce que les particules ont une distribution de vitesse aléatoires ou elles ont toutes la même vitesse?

On peut aussi essayer "refaire" le film inverse en partant de la dernière valeur des positions et vitesses et en inversant les vitesses. On remarque qu'il ne faut pas beaucoup de particules pour que ça ne marche pas.

Penser à changer le nom du film pour ne pas écraser l'ancien...

N = 100
vel_save = np.random.random((N,2))*2 - 1

# options for main program
reg_pos= 0 # 0: random initial positions; 1 regular initial positions
id_vel = 1  # 0: random initial velocities; 1: all initial velocities equal
reverse = 0 # 0: restart; 1: start with stored (random) velocities 2: start with end positions of last run and inversed velocities

n_steps = 500 # Nombre de chocs

moviename='Film_test.mp4'

#  main program

output_dir = "PNG/T1_particules_en_boite_libre_movie"

cmd3 = 'rm ' + output_dir + '/*.png'
os.system(cmd3)                    #On efface les anciennes images

colors = ['grey']*N
colors[-1]='red'

img = 0
if not os.path.exists(output_dir): os.makedirs(output_dir)
    
sigma = 0.01                       # Rayon des particules
singles = [(i,j) for i in range(N) for j in range(2)]   # L'ensemble des particules (en 2D)
pairs = [(i,j) for i in range(N) for j in range(i+1,N)] # L'ensemble des paires

if reverse == 2:
    vel = -vel
    pos = pos # well, OK
    print('if1')
elif reverse == 1:
    vel = vel_save.copy() # This SHOULD take the original velocities from vel_save
    # BUT for whatever reason, sometimes, vel_save *IS* (slightly) altered, so that one cannot 
    # restart a calculation with the same conditions ???
    pos = reg_position(N)
    print('if2')
elif reverse == 0 :
    print('if3')
    if reg_pos == 0:
        print('if4')
        pos = check_position()             # Sélection des positions (de manière aléatoire)
    else :                                 # disposition régulière
        print('if5')
        pos = reg_position(N)  
    if id_vel == 1 :
        print('if6')
        vel = np.zeros((N,2))+(0.5,0) # tout le monde part vers la droite avec vx=0.5 
    else : vel = np.random.random((N,2))*2 - 1 # selection aléatoire des vitesses initiales

#print('vel_save avant')        
#print(vel_save)

#print('vel initial')
#print(vel)

X,Y = [pos[-1][0]],[pos[-1][1]]    # La dernière particule va être suivie à la loupe

t = 0.0                            # Temps initial
dt = 0.01                          # interval 


vmoysq=0
for i in range(len(vel)):
    vmoysq += vel[i][0]**2+vel[i][1]**2

vmoysq=vmoysq/len(vel) # vitesse quadratique moyenne au carré
kbt=0.5*vmoysq # parceque m=1 donne la température du gaz
print(kbt)


next_event, next_event_arg = compute_next_event(pos, vel) # On calcule la première étape

print(next_event)
print(next_event_arg)

snapshot(t, pos, vel, colors, X, Y)# et on prend une première photo.
for step in range(n_steps): 
    tzero = t
    while t <= tzero + next_event : # Début des calculs jusqu'à la prochaine sortie
        t += dt            # On avance
        pos += vel * dt    # On met à jour les position
        X.append(pos[-1][0])           # Suivi x de la dernière particule
        Y.append(pos[-1][1])           # Ainsi que Y
        snapshot(t,pos,vel,colors,X,Y) # Souriez pour la photo
        print(t)
    compute_new_velocities(pos, vel, next_event_arg)
    next_event, next_event_arg = compute_next_event(pos, vel)
    print('pas' , step, 'sur', n_steps)                # et un peu de feedback

if3
if4
100 trials to get initial conditions and still trying...
2 82
200 trials to get initial conditions and still trying...
5 65
Let's compute some physics !
if6
0.125
0.0029291284036558896
80
0.01
pas 0 sur 500
0.02
pas 1 sur 500
pas 2 sur 500
0.03
pas 3 sur 500
0.04
0.05
pas 4 sur 500
0.060000000000000005
0.07
0.08
0.09
0.09999999999999999
pas 5 sur 500
pas 6 sur 500
0.10999999999999999
pas 7 sur 500
0.11999999999999998
0.12999999999999998
pas 8 sur 500
0.13999999999999999
pas 9 sur 500
0.15
0.16
pas 10 sur 500
pas 11 sur 500
0.17
pas 12 sur 500
0.18000000000000002
pas 13 sur 500
0.19000000000000003
0.20000000000000004
0.21000000000000005
pas 14 sur 500
pas 15 sur 500
0.22000000000000006
0.23000000000000007
0.24000000000000007
0.25000000000000006
pas 16 sur 500
0.26000000000000006
0.2700000000000001
0.2800000000000001
pas 17 sur 500
0.2900000000000001
pas 18 sur 500
pas 19 sur 500
0.3000000000000001
pas 20 sur 500
pas 21 sur 500
pas 22 sur 500
0.3100000000000001
0.3200000000000001
pas 23 sur 500
pas 24 sur 500
pas 25 sur 500
0.3300000000000001
pas 26 sur 500
0.34000000000000014
pas 27 sur 500
pas 28 sur 500
0.35000000000000014
pas 29 sur 500
0.36000000000000015
0.37000000000000016
pas 30 sur 500
pas 31 sur 500
pas 32 sur 500
0.38000000000000017
pas 33 sur 500
0.3900000000000002
pas 34 sur 500
0.4000000000000002
pas 35 sur 500
pas 36 sur 500
0.4100000000000002
pas 37 sur 500
pas 38 sur 500
0.4200000000000002
pas 39 sur 500
pas 40 sur 500
pas 41 sur 500
0.4300000000000002
pas 42 sur 500
pas 43 sur 500
0.4400000000000002
pas 44 sur 500
pas 45 sur 500
0.45000000000000023
pas 46 sur 500
0.46000000000000024
pas 47 sur 500
pas 48 sur 500
pas 49 sur 500
0.47000000000000025
0.48000000000000026
pas 50 sur 500
pas 51 sur 500
pas 52 sur 500
pas 53 sur 500
pas 54 sur 500
0.49000000000000027
pas 55 sur 500
pas 56 sur 500
pas 57 sur 500
0.5000000000000002
pas 58 sur 500
pas 59 sur 500
pas 60 sur 500
0.5100000000000002
pas 61 sur 500
pas 62 sur 500
pas 63 sur 500
0.5200000000000002
pas 64 sur 500
pas 65 sur 500
pas 66 sur 500
0.5300000000000002
pas 67 sur 500
pas 68 sur 500
pas 69 sur 500
0.5400000000000003
0.5500000000000003
pas 70 sur 500
pas 71 sur 500
pas 72 sur 500
pas 73 sur 500
pas 74 sur 500
0.5600000000000003
0.5700000000000003
pas 75 sur 500
pas 76 sur 500
pas 77 sur 500
0.5800000000000003
pas 78 sur 500
pas 79 sur 500
pas 80 sur 500
0.5900000000000003
pas 81 sur 500
pas 82 sur 500
0.6000000000000003
pas 83 sur 500
pas 84 sur 500
0.6100000000000003
pas 85 sur 500
0.6200000000000003
pas 86 sur 500
0.6300000000000003
pas 87 sur 500
pas 88 sur 500
pas 89 sur 500
pas 90 sur 500
0.6400000000000003
pas 91 sur 500
pas 92 sur 500
pas 93 sur 500
0.6500000000000004
pas 94 sur 500
0.6600000000000004
pas 95 sur 500
pas 96 sur 500
pas 97 sur 500
pas 98 sur 500
0.6700000000000004
pas 99 sur 500
pas 100 sur 500
pas 101 sur 500
0.6800000000000004
pas 102 sur 500
pas 103 sur 500
pas 104 sur 500
0.6900000000000004
pas 105 sur 500
pas 106 sur 500
pas 107 sur 500
0.7000000000000004
pas 108 sur 500
pas 109 sur 500
0.7100000000000004
pas 110 sur 500
pas 111 sur 500
pas 112 sur 500
pas 113 sur 500
0.7200000000000004
pas 114 sur 500
pas 115 sur 500
pas 116 sur 500
0.7300000000000004
pas 117 sur 500
pas 118 sur 500
pas 119 sur 500
0.7400000000000004
pas 120 sur 500
pas 121 sur 500
0.7500000000000004
pas 122 sur 500
pas 123 sur 500
pas 124 sur 500
pas 125 sur 500
0.7600000000000005
pas 126 sur 500
pas 127 sur 500
pas 128 sur 500
pas 129 sur 500
0.7700000000000005
pas 130 sur 500
pas 131 sur 500
pas 132 sur 500
pas 133 sur 500
pas 134 sur 500
pas 135 sur 500
0.7800000000000005
pas 136 sur 500
pas 137 sur 500
pas 138 sur 500
0.7900000000000005
0.8000000000000005
pas 139 sur 500
pas 140 sur 500
pas 141 sur 500
0.8100000000000005
pas 142 sur 500
0.8200000000000005
pas 143 sur 500
pas 144 sur 500
pas 145 sur 500
0.8300000000000005
pas 146 sur 500
pas 147 sur 500
0.8400000000000005
pas 148 sur 500
pas 149 sur 500
pas 150 sur 500
0.8500000000000005
pas 151 sur 500
pas 152 sur 500
pas 153 sur 500
pas 154 sur 500
pas 155 sur 500
0.8600000000000005
pas 156 sur 500
pas 157 sur 500
0.8700000000000006
pas 158 sur 500
0.8800000000000006
pas 159 sur 500
pas 160 sur 500
pas 161 sur 500
pas 162 sur 500
pas 163 sur 500
pas 164 sur 500
pas 165 sur 500
pas 166 sur 500
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pas 406 sur 500
pas 407 sur 500
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pas 411 sur 500
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1.8800000000000014
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pas 493 sur 500
pas 494 sur 500
1.9000000000000015
pas 495 sur 500
1.9100000000000015
pas 496 sur 500
pas 497 sur 500
1.9200000000000015
pas 498 sur 500
pas 499 sur 500

cmd1 = 'rm ' + moviename
#print(cmd1)
os.system(cmd1) 

#filter_complex 'scale=864:576, pad=720:576:71:57'

cmd2 = 'ffmpeg  -v 0 -framerate 24 -pattern_type glob -i \'' + output_dir + '/*.png\'  -vcodec libx264 -vf "pad=ceil(iw/2)*2:ceil(ih/2)*2" -pix_fmt yuv420p ' + moviename

print("Execution de la commande de conversion")
print(cmd2)
os.system(cmd2)
print("Fin de la commande de conversion")

Execution de la commande de conversion
ffmpeg  -v 0 -framerate 24 -pattern_type glob -i 'PNG/T1_particules_en_boite_libre_movie/*.png'  -vcodec libx264 -vf "pad=ceil(iw/2)*2:ceil(ih/2)*2" -pix_fmt yuv420p Film_test.mp4
Fin de la commande de conversion

import io
import base64
from IPython.display import HTML

video = io.open(moviename, 'r+b').read()
encoded = base64.b64encode(video)
HTML(data='''<video alt="test" controls>
                <source src="data:video/mp4;base64,{0}" type="video/mp4" />
             </video>'''.format(encoded.decode('ascii')))

Notebook by Cécile Hébert (2019-2024). Except where otherwise noted, the content of this notebook is licensed under MIT licence.